KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat
Allah SWT, Tuhan Yang Maha Esa, maha pengasih, maha penyayang, maha
segala-galanya yang dengan segala rahmat, taufik dan hidayah-Nya sehingga
makalah ini dapat terselesaikan. Shalawat serta salam selalu tercurahkan kepada
junjungan alam Nabi Besar Muhammad SAW. Beserta keluarga dan sahabat-sahabat
beliau yang telah membimbing ummat manusia dari alam gelap gulita menuju alam
yang terang benderang.
Persamaan dan pertidaksamaan merupakan salah
satu bagian yang tidak dapat dipisahkan dalam matematika. Karena sangat
berhubungan dengan bilangan . Dengan adanya makalah ini semoga bermanfaat bagi
penulis, dan pembaca pada umumnya.
Penulis menyadari sepenuhnya bahwa penulisan
makalah ini masih jauh dari kesempurnaan, untuk itu penulis mengharapkan kritik
dan saran yang sifatnya membangun guna perbaikan di masa yang akan datang.
Penulis,
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR..................................................................................
DAFTAR ISI.................................................................................................
BAB I PENDAHULUAN...........................................................................
a. Latar Belakang.............................................................................................. 1
b. Rumusan Masalah.......................................................................................... 1
c. Tujuan............................................................................................................ 1
BAB II
PEMBAHASAN...........................................................................
a. Persamaan linier satu variabel....................................................................... 2
b. Pertisaksamaan satu variabel......................................................................... 3
c. persamaan kuadrat........................................................................................ 5
c. pertidaksamaan kuadrat................................................................................ 6
c. persamaan dua variabel................................................................................. 7
c. persamaan tiga variabel................................................................................. 8
BAB III PENUTUP.....................................................................................
a.
Kesimpulan.................................................................................................. 10
b.
Saran ........................................................................................................... 10
Daftar pustaka...........................................................................................
11
BAB 1
PENDAHULUAN
a.
Latar Belakang
Matematika
merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang sangat penting dalam
kehidupan sehari – hari. Manusia dalam melakukan kegiatan sehari – hari
tentunya tidak lepas dari apa yang ada dalam matematika. Akan tetapi kebanyakan
orang tidak menyadari bahwa apa yang dilakukannya tersebut merupakan bagian
dari matematika. Kegiatan – kegiatan seperti menghitung bilangan, menjumlahkan
dan lain sebagainya merupaka bagian dari cabang ilmu matematika yang paling
dasar.
b.
Rumusan Masalah
Dalam makalah ini
terdapat beberapa rumusan masalah yaitu:
a. Apa
itu persamaan dan pertidaksamaan linier
satu dua dan tiga variabel
b. Bagaimana
menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan?
c.
Tujuan
a. Untuk
mengetahui apa yang dimaksud dengan persamaan dan pertidaksamaan
b. Untuk
mengetahui bagaimana cara menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan
BAB 2
PEMBAHASAN
PERSAMAAN LINIER SATU PEUBAH
Persamaan linier satu peubah
adalah persamaan
yang hanya memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya adalah satu.
Contoh:
1.
2x + 7 = 6x + 3 , merupakan
persamaan linier satu peubah karena
peubahnya satu (yaitu x ) dan pangkatnya
adalah 1.
2.
3 y + 6m = 8 , bukan persamaan
linier satu peubah karena peubahnya ada dua (yaitu
y dan m ).
3.
x 2 - 9 = 0 ,
bukan persamaan
linier satu
peubah walaupun
peubahnya hanya satu tetapi pangkat dari peubahnya adalah dua.
1.Penyelesaian Suatu Persamaan
Menyelesaikan suatu persamaan
artinya adalah mencari nilai pengganti dari peubah sehin gga menjadi pernyataan yang benar.
Contoh:
5t - 6 = - 11, adalah persamaan linier satu peubah.
t = - 1 merupakan
penyelesaian persamaan itu
karena jika
t diganti dengan –1, maka pernyataan
5(- 1) - 6 = - 11 merupakan
pernyataan yang
benar. Sedangkan t = 1 bukan penyelesaian
karena
jika
t diganti dengan 1, maka
pernyataan
5(1) - 6 = - 11 merupakan
pernyataan yang salah.
2.Cara mencari penyelesaian persamaan linier satu peubah
Tiga langkah berikut dapat
dilakukan dalam menyelesaikan persamaan
linier dengan satu peubah:
1. Menambah kedua ruas dengan bilangan yang sama.
2. Mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
3. Membagi atau
mengalikan kedua ruas
dengan bilangan
yang sama
yang bukan nol.
Contoh:
Tentukan penyelesaian
dari persamaan 2x - 3 = - 3x + 7 dan
tentukan himpunan penyelesaiannya!
Penyelesaian:
2x - 3 = - 3x + 7
3x + 2 x - 3 = 3x + (- 3x ) + 7 ............
(kedua ruas ditambah dengan 3x )
5x - 3 = 7
5x - 3 + 3 = 7 + 3 .......................... (kedua ruas ditambah 3)
5x = 10
x=2
........................................
(kedua ruas dibagi dengan 5 )
Himpunan penyelesaiannya adalah: { 2}.
PERTIDAKSAMAAN LINIER SATU PEUBAH
Pertidaksamaan linier satu peubah adalah pertidaksamaan
yang hanya memuat sebuah
peubah dan
pangkat dari
peubahnya adalah satu.
Contoh:
1.
2n + 9 = 21, merupakan pertidaksamaan
linier satu peubah banyak peubahnya
satu (yaitu n ) dan pangkatnya
adalah 1.
2.
5t + 7m = 12 , bukan pertidaksamaan linier satu peubah karena
peubahnya dua (yaitu t
dan m ).
3.
y + 4 = 3y2 + 3 , bukan
pertidaksamaan linier satu
peubah walaupun peubahnya hanya satu tetapi paubahnya ada yang berpangkat 2.
1.Cara mencari penyelesaian pertidaksamaan linier satu peubah
Hal-hal yang perlu
diperhatikan dalam menyelesaikan pertidaksa-maan linier
satu peubah adalah:
1. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau
dikurangi dengan bilangan yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap.
2.
Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama
dan tidak nol,
maka tanda
pertidaksamaan tetap.
3.
Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan
bilangan negatif yang sama dan tidak
nol, maka
tanda pertidaksamaan menjadi
sebaliknya.
Contoh 1:
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan
-3t + 12 ≤
2t + 17 dan tentukan himpunan penyelesaiannya!
Penyelesaian:
-3t + 12 ≤ 2t + 17
-3t + 12 - 2t ≤ 2t + 17 - 2t ................
(kedua ruas dikurangi 2t )
- 5t + 12 ≤ 17
- 5t + 12 - 12 ≤ 17 - 12 .................... (kedua ruas dikurangi 12)
- 5t ≤ 5
t ≥ - 1 ...................................... (kedua ruas dibagi -5)
Himpunan penyelesaiannya adalah:
Contoh 2:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan!
Penyelesaian:
- x + 48 ≤ 6x - 24 ........................ (kedua ruas dikalikan 3)
- x + 48 - 48 ≤ 6x - 24 - 48 ............. (kedua ruas dikurangi
48)
- x ≤ 6x - 72
- x - 6x ≤ 6x – 72 - 6x
- 7x ≤ -72 ............................... (kedua ruas dikurangi 6x )
x ≥ ..................................... (kedua ruas dibagi -7)
Himpunan penyelesaiannya adalah:
PERSAMAAN KUADRAT
Persamaan kuadrat (dalam x ) adalah
persamaan dimana pangkat dari x
adalah bilangan
asli dan pangkat tertingginya adalah 2. Secara umum persamaan
kuadrat (dalam x ) berbentuk:
ax2 + bx + c = 0 ; a
0.
1.Cara menyelesaikan persamaan kuadrat
1.
Cara Memfaktorkan
Langkah-langkah:
a. Persamaan
kuadrat dinyatakan dalam bentuk
ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0
b. Kedua ruas dibagi dengan a
sehingga
koefisien dari
x2 adalah 1, akhirnya persamaan kuadrat semula berbentuk
x 2 + bx + c = 0 .
c. Tentukan
dua
buah faktor c kalau
dijumlahkan sama dengan
b misalkan dua faktor itu adalah q
dan s ,
maka
q + s = b
x2 + bx + c = (x
+ q)( x + s) = 0 ,
q.s = c
sehingga ( x + q ) =
0 atau
( x + s) =
0.
Jadi penyelesaiannya adalah x =
- q atau
x = - s .
2.
Cara melengkapkan kuadrat sempurna
Suatu persamaan kuadrat dikatakan kuadrat sempurna
jika persamaan itu dapat ditulis dalam bentuk:
Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan
kuadrat sempurna dilakukan jika persamaan kuadrat sulit dicari menggunakan
pemfaktoran. Langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian dengan cara
menggunakan kuadrat sempurna yaitu:
a. ubah persamaan kuadrat kedalam bentuk persamaan kuadrat
sempurna dengan menentukan nilai c, yaitu:
b. substitusikan c kepersamaan kuadrat awal sehingga menjadi
bentuk kuadrat baru yaitu kuadrat sempurna.
c. carilah nilai akar-akar dari persamaan kuadrat sempurna
yang sudah peroleh.
3.
Dengan menggunakan rumus
Menyelesaikan
persamaan kuadrat dapat juga dilakukan dengan menggunakan rumus. Penurunan
rumus dilakukan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Berikur adalah
uraian penurunan rumus tersebut:
ax2 + bx + c = 0
Rumus yang
diperoleh
Harga disebut
diskriminan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dan dinyatakan dengan D sehingga D = , maka didapat:
PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Pertidaksamaan kuadrat (dalam x ) adalah
pertidaksamaan dimana pangkat dari x
adalah bilangan asli
dan pangkat tertingginya adalah 2.
Langkah-langkah untuk menyelesaikan
pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut:
1.
Nyatakan pertidaksamaan kuadrat
ke bentuk
salah satu
ruas sama dengan nol dan ruas yang lain adalah bentuk kuadrat.
2. Tentukan pembuat nol dari bentuk kuadrat itu.
3. Letakkan pembuat nol dalam garis bilangan
.
4. Tentukan tanda dari setiap daerah pada garis bilangan.
5. Tentukan penyelesaiannya
sesuai yang dikehendaki pada pertidak-samaan.
1.Jenis Akar
Persamaan Kuadrat
1.
Jika D > 0, maka ax2 + bx + c = 0 memiliki dua akar real yang berlainan
2. Jika D = 0, maka ax2 + bx + c = 0 memiliki dua akar real yang sama.
3. Jika D < 0, maka ax2 + bx + c = 0 akar-akarnya tidak real.
2.Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
Persamaan
kuadrat ax2 +
bx + c = 0
mempunyai dua akar x1 dan x2
yang nilainya adalah:
x1 =
x2 =
1. Jumlah kedua
akar
x1 + x2 = + = =
2. Hasil kali
kedua akar
=
3. Selisih kedua
akar
x1 - x2 = - = =
3.Menyusun Persamaan Kuadrat yang Diketahui
Akar-akarya
Untuk menyusun persamaan kuadrat baru dapat dilakukan
dengan dua cara, yaitu:
1. dengan
perkalian faktor, misalkan kedua akar yang diketahui masing-masing x1 dan x2, maka
persamaan kuadrat baru:
2. dengan
menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan yaitu (x1 + x2) dan (), maka persamaan kuadrat baru:
PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL/PEUBAH
Persamaan yang memuat
dua peubah,
pangkat peubahnya adalah satu dan tidak ada perkalian
atau pembagian antar peubah itu
disebut persamaan linier dua peubah.
1.Sistem Persamaan Linier Dua Variabel/Peubah
Dua atau lebih dari persamaan linier dua peubah yang berlaku secara
serentak disebut sistem persamaan linier dua
peubah.
Untuk
menotasikan
persamaan-persamaan itu berlaku secara serentak digunakan notasi ”}”.
2.Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua
Variabel/Peubah
Menyelesaikan sistem persamaan
linier dua peubah artinya adalah
mencari nilai pengganti dari setiap peubah nilai yang
dimaksud, maka persamaan itu berubah menjadi kalimat yang bernilai
benar.
1.
Cara Grafik
a. Gambarlah
(pada bidang koordinat) grafik garis lurus yang menyatakan himpunan penyelesaian dari
masing-masing persamaan.
b.
Tentukan titik potong
kedua
garis
tersebut
(jika
ada).
Koordinat
titik
potong itulah merupakan
pasangan penyelesaian dari sistem persamaan yang dimaksud. Tentukan titik
potong
kedua
garis
tersebut
(jika
ada).
Koordinat
titik
potong itulah merupakan pasangan
penyelesaian dari sistem persamaan
yang dimaksud.
2. Cara
Eliminasi
Mengeliminasi artinya menghilangkan. Cara eliminasi dilakukan dengan cara
”menghilangkan” salah satu peubah. Dengan demikian, persamaan yang semula
terdiri dari dua peubah akhirnya menjadi satu peubah. Selanjutnya dapat
ditentukan penyelesaiannya.
3. Cara
Substitusi
Mensubstitusi artinya adalah menggantikan. Cara substitusi dilakukan dengan
cara
mencari
nilai
salah
satu
peubah
pada
suatu
persamaan kemudian menggantikan
nilai
itu
pada
persamaan
yang
lain.
Cara ini lebih efisien jika
dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan
linier yang peubahnya
ada yang berkoefisien
1.
Catatan:
Sering kali
dalam menyelesaikan
suatu
SPL
digunakann
cara eliminasi dan substitusi sekaligus pada suatu
soal. Cara yang demikian dinamakan cara kombinasi eliminasi
dan substitusi.
4. Cara
Determinan
Bentuk
persamaan:
D = Dx = Dy =
PERSAMAAN LINIER TIGA
VARIABEL/PEUBAH
Persamaan yang memuat
tiga peubah, pangkat peubahnya adalah satu dan tidak ada perkalian atau pembagian antar peubah itu
disebut persamaan linier tiga peubah.
1.Sistem Persamaan Linier Tiga
Variabel/Peubah
Dua atau lebih dari persamaan linier tiga peubah yang berlaku secara
serentak disebut sistem persamaan linier tiga peubah.
Untuk
menotasikan persamaan-persamaan
itu berlaku secara serentak digunakan notasi
”}”.
2.Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier
Tiga Variabel/Peubah
Menyelesaikan sistem persamaan linier tiga
variabel/peubah artinya mencari nilai pengganti
dari setiap peubah nilai yang
dimaksud, maka persamaan itu berubah menjadi kalimat yang bernilai
benar.
1.
Cara Eliminasi
Cara eliminasi
untuk menyelesaikan
sistem persamaan
linier dua
peubah dapat dikembangkan untuk menyelesaikan sistem persamaan
linier tiga peubah. Langkah-langkahnya juga sama seperti
dalam menyelesaikan sistem persamaan linier dua peubah.
2. Cara Substitusi
Cara substitusi yang dilakukan untuk menyelesaikan
sistem persamaan linier dua peubah juga dapat dilakukan
untuk menyelesaikan sistem persamaan linier tiga
peubah.
3. Cara Determinan
Bentuk persamaan:
D =
= (a1b2c3 +
b1c2a3 + c1a2b3)
– (a3b2c1 + b3c2a1
+ c3a2b1)
Dx =
= (k1b2c3
+ b1c2k3 + c1k2b3)
– (k3b2c1 + b3c2k1
+ c3k2b1)
Dy =
= (a1k2c3
+ k1c2a3 + c1a2k3)
– (a3k2c1 + k3c2a1
+ c3a2k1)
Dz =
= (a1b2k3
+ b1k2a3 + k1a2b3)
– (a3b2k1 + b3k2a1
+ k3a2b1)
BAB III
PENUTUP
a. Kesimpulan
Persamaan linier satu peubah
adalah persamaan
yang hanya memuat sebuah peubah dan pangkat dari peubahnya adalah satu.
Pertidaksamaan linier satu peubah adalah pertidaksamaan
yang hanya memuat sebuah
peubah dan
pangkat dari
peubahnya adalah satu.
Persamaan kuadrat (dalam x ) adalah
persamaan dimana pangkat dari x
adalah bilangan
asli dan pangkat tertingginya adalah 2. Secara umum persamaan
kuadrat (dalam x ) berbentuk:
ax2 + bx + c = 0 ; a
0.
Pertidaksamaan kuadrat (dalam x ) adalah
pertidaksamaan dimana pangkat dari x
adalah bilangan asli
dan pangkat tertingginya adalah 2.
Persamaan yang
memuat dua peubah, pangkat peubahnya
adalah satu dan tidak ada perkalian
atau pembagian antar peubah itu
disebut persamaan linier dua peubah
Persamaan yang memuat
tiga peubah, pangkat peubahnya adalah satu dan tidak ada perkalian atau pembagian antar peubah itu
disebut persamaan linier tiga peubah.
b. Saran
Dalam pembutan makalah ini kami menyadari banyak kekeliruan dan masih jauh dari kata sempurna,
Oleh karena itu kami mengharapkan dari semua pihak untuk memberikan kritik dan
saran yang bersipat membangun,untuk kelancaran pembuatan makalah selanjutnya.
Namun, kami berharap makalah kami bisa bermanfaat bagi kita semua terutama bagi
pemakalah…. Amiiin ya Robbal Alamiiin!!!
DAFTAR PUSTAKA
Mutadi. 2008. Bergelut dengan si
asyik Matematika. Kudus. PT. Listafariska
Putra
habibi-aja.blogspot.com/2008/06/pertidaksamaan.html
Purcell, Edwin. J. 1992. Kalkulus dan geometri analitik.
Jakarta : Erlangga.
Marwanta. 2009. Matematika SMA kelas X. Jakarta: yudhistira.
Nasution, andy hakim. 1996. Matematika SMA kelas 2.
Departemen pendidikan dan
kebudayaan.
http://id.crayonpedia.org/sistem
persamaan dan pertidaksamaan linear dua variiabel. (2 maret 2011)
http://www.findtoyou.com//
SPLDV. (2 maret 2011)
Tidak ada komentar:
Posting Komentar